Il parto lungo dei numeri naturali

05 Lug 2017 20:50

I numeri?! Il direttore vuole una lezione
sui numeri?! Come articolo?! Chi vuoi che lo legga! Numeri, matematica, scuola:
il massimo della noia. Ci provo. 

I numeri, cosa sono i numeri? Già, cosa
sono i numeri?! I numeri sono i numeri come le pere sono le pere e le mele sono
le mele ovvero parole per chiamare le cose e distinguerle dalle altre. «Allora il Signore Dio plasmò dal suolo ogni
sorta di bestie selvatiche e tutti gli uccelli del cielo e li condusse
all’uomo, per vedere come li avrebbe chiamati: in qualunque modo l’uomo avesse
chiamato ognuno degli esseri viventi, quello doveva essere il suo nome. Così
l’uomo impose nomi a tutto il bestiame, a tutti gli uccelli del cielo e a tutte
le bestie selvatiche.» (Genesi: 2.19,20)

Oltre a distinguere la qualità delle cose e
degli animali l’uomo ebbe anche l’esigenza di specificare la quantità. Doveva
pur sapere quante mele aveva sull’albero! Magari se ne fosse disinteressato a
quest’ora forse, saremmo ancora nell’Eden e potremmo godere di ogni cosa in
ogni tempo e senza il sudore del nostro volto. (Ma oggi non godiamo in ogni
stagione di ogni frutto e senza alcun sudore?! Che siamo ritornati al Paradiso
Terrestre?!) Fatto sta che si interessò della quantità delle mele e, a tal fine
inventò altre parole che chiamò numeri. Questo avvenne molto, molto tempo dopo,
con Pitagora (VI secolo avanti
Cristo). Per fare ciò utilizzò la punta del naso e le dita: a ogni pera, un
dito sulla punta del naso. Detto in termini moderni: mise in corrispondenza
biunivoca gli elementi di due insiemi. E molto, molto tempo dopo, Bertrand Russell (1872-1970) formalizza
la definizione dei numeri come corrispondenza biunivoca di insiemi equivalenti
(i sei lenzuoli, le sei federe, i sei piatti, le sei posate… del corredo della
sposina sono insiemi equivalenti, sono, cioè, tali che è possibile stabilire
una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi e definiscono il numero sei).
Ed è sua l’affermazione: “Ci devono essere voluti parecchi
secoli per scoprire che una coppia di fagiani o un paio di giorni erano esempi
del numero due”. 

Cosa è che
distingue e caratterizza le parole chiamate numeri, dalle altre? Due altre parole:
successivo e zero. Le parole che indicano i numeri sono legate dalla parola
successivo: due è successivo di uno; tre di due; quattro di tre; e così via.
Stessa cosa non si può dire per le parole mela, pera, pesca. La formalizzazione
del concetto di successivo si ha con Giuseppe
Peano (1858-1932) che diede una definizione assiomatica dei numeri dove numero, successivo e zero sono concetti
primitivi nel senso che non esistono frasi: numero è…; successivo è…; zero è…
Nella geometria sono concetti primitivi: punto, retta, piano. I concetti
primitivi, in quanto non definiti, possono essere la qualsiasi cosa, ciò che li
caratterizza non è la loro natura ma il tipo di relazione che li lega agli
altri oggetti. Credo che ciò possa estendersi a qualsiasi organismo la cui
natura e definizione non è mai una cosa a se, avulsa dalle relazioni che lo legano
al contesto e all’ambiente in cui è immerso. Infatti, non ha assolutamente
senso parlare di un animale che respira senza tenere conto dell’aria e
dell’ossigeno in quanto parti essenziali della definizione.

Senza andare sul sottile e sul filosofico
va sottolineato che il concetto di successivo determina un ordine gerarchico
tra i numeri: sette è successivo di sei e lo contiene come anche tutti i
precedenti. Tra i numeri non c’è parità, non c’è simmetria, non ci può essere
dialogo alla pari. Tra mela, pera, pesca c’è parità, c’è simmetria, ci può
essere dialogo, si possono combinare i loro gusti e farne un’ottima macedonia.
Quest’aspetto andrebbe tenuto presente nella didattica. Allorquando si assegna
dieci ad un alunno, sei ad un altro e tre ad un altro ancora, tra questi è
inficiata ogni possibilità di simmetria e di dialogo alla pari. Mai potranno
combinarsi le loro idee, i loro punti di vista, i loro gusti in una ricca e
gustosa macedonia. Ogni appello in tal senso è destinato a essere frustrato.
Quando mai il meno può avere valore per il più?! Se tra gli alunni non c’è,
come non c’è, dialogo costruttivo e creativo può dipendere da tante cose ma,
credo, che sostanzialmente dipenda dalla valutazione gerarchica determinata
dall’assegnazione dei voti ovvero dal concetto primitivo di successivo
contenuto nella definizione assiomatica di Peano. Chi parla e si occupa di scuola,
dovrebbe avere consapevolezza di ciò.

Travagliato è stato il parto della parola
zero come numero. Non scaturisce, non può scaturire dall’operazione del
contare: se non ho nulla, non conto. È ovvio! Non lo inventarono i greci che,
ai tempi di Pitagora, ebbero anche qualche difficoltà con la parola uno che,
più che al contare, rimanda all’Uno, all’universo, al tutto. Né lo inventarono
i romani e perciò, nello scrivere i numeri, non riuscirono a passare dal
sistema additivo a quello posizionale. Per tale passaggio occorreva assumere il
principio: le cifre hanno valore diverso
a seconda della posizione in cui sono collocate. Esempio: nel simbolo III
la stessa cifra I ha, nel sistema posizionale, i valori di cento, dieci ed uno
ed in quello addizionale sempre il valore uno per cui in un caso vale cento
undici, nell’altro tre.

Il sistema posizionale si affermò in quanto
consente di scrivere con un numero fisso di simboli (per esempio le dieci cifre
del sistema decimale) ogni possibile numero sia esso grande o grandissimo o
ancora più grande di quanto non si possa immaginare. Nel sistema addizionale
invece occorre introdurre nuovi simboli man mano che il numero diventa grande.
I romani ne usarono sette (I, V, X, L, C, D, M) e poi ci misero sopra uno, due
e tre trattini, per indicare la cifra moltiplicata per mille, centomila ed un
milione. E qua si fermarono. Di più a che serviva!

Eppure, il principio di cui sopra, era
usato dai romani nelle operazioni di calcolo (dal latino calculus, pietra). Essi infatti usavano l’abaco (dal latino abacus che proviene dal greco e
dall’ebraico e vuol dire polvere)
ovvero una fila di riquadri disegnati nella polvere in cui collocavano i
calcoli che rappresentavano i numeri da addizionare. Per eseguire sette più
cinque mettevano, nel riquadro di destra, prima sette calcoli e poi cinque,
quindi toglievano da esso dieci calcoli e ne mettevano uno su quello a sinistra.
L’abaco si presenta così con un calcolo nel penultimo riquadro col valore di
dieci e due nell’ultimo col valore ciascuno di uno ovvero ubbidisce al
principio di attribuire valori diversi ai calcoli a seconda del riquadro dove
sono collocati.

I romani perciò usavano il principio
posizionale senza tuttavia riuscire a vederlo e a formalizzarlo nella scrittura
dei numeri. E ciò perché non riuscirono a inventare il numero zero da usare per
i riquadri che restavano vuoti. Non riuscirono a vedere che il vuoto, pur
impossibile da contare, era un numero. Gli indiani, che avevano imparato i
numeri dai greci a seguito dell’invasione di Alessandro Magno, inventarono il
sistema posizionale proprio per avere avuto l’ardire di considerare lo zero, un
numero.

Il sistema, nel medioevo, pervenne in
Europa per il tramite degli arabi, e, tutt’oggi, è detto numerazione araba. Gli
arabi chiamavano lo zero sifr, che
significa vuoto, Leonardo Fibonacci (1170-1240), che col suo Liber abbaci contribuì, in modo particolare, alla diffusione del sistema posizionale in
Europa, tradusse sifr in zephirum;
da questo si ebbe il veneziano zevero e quindi l’italiano zero.

Gli indiani furono più bravi dei romani?
Agli uni diamo otto e agli altri sei? Non fu questione di bravura ma di diversi
punti di vista. I romani pensavano al pratico, al fare e, per il loro daffare,
numeri dell’ordine del milione erano più che sufficienti. Gli indiani erano più
speculativi e si posero il problema inutile di scrivere non solo i numeri che usavano ma anche quelli che non avrebbero mai
usato. Così furono inventati il numero zero e il sistema posizionale che si
rivelarono più utili delle cose utili. Nella scuola gli indiani sarebbero,
forse, stati considerati bizzarri o matti e quindi bocciati!

Ragusa, 4 ottobre 2010

                                                                                               Ciccio
Schembari